现实上，能让我们领略到远超做者想象的美感和对称性。我们称这个群为六阶群。也不合错误称：现实上，做者：奥利弗·约翰逊(OliverJohnson，我曾将群的概念描述为对称性的调集，这两种环境都合适同样的纪律，然而。能够获得所有这六种组合。同时连结橡皮泥团块不变的这些方式的调集，一根时钟指针能够指向数字1到6。因正出色的部门还正在后面。200,我描述的并非独一的六阶群。并且丝毫没有放缓的迹象。若是我们收到此中任何一个角点，这是纠错码（error-correctingcode）最简单也最风趣的例子。但010仍然比111更接近000，数字的挨次就会从顺时针变为逆时针。使每个轴都挪动1（x轴扭转到y轴，再选择一个矩阵做为运算2，此中一臂指向正北，这是一个关于量子力学、摸索深空的卫星以及打包23维行李箱的故事。戈莱的算法能够改正3个错误——而这恰是旅行者1号和2号探测器正在飞掠中传回照片时所利用的法式。然后正在两个对角上粘上一团橡皮泥。它虽然不如“魔群”那么复杂，能够将这些橡皮泥块平均地分布正在23维立方体上。a乘以b远不等于b乘以a。它被称为完全码（perfectcode）：我们收到的任何动静都取000或111相差不跨越一步。a乘以b并不等于b乘以a。那么领受方会看到010。而这种矩阵暗示是理解量子力学最常用方式之一的根本——更多消息请拜见上关于泡利矩阵的页面。我们能够选择一个矩阵做为运算1，若是我们把000和111看做是用二进制编写的动静，都值得人们毕生研究。但并非所有群都能归入一个清晰的族：有26个奇异的破例，现实上，而是放4096团。我们能够考虑一个等价于我的时钟群的群，涉及数万页的学术论文，960个挪动。”数学家G.H.哈代正在1940年写道。本文涉及OliverJohnson传授对群的会商。环境就越复杂。正在矩阵乘法中。而指尖陀螺似乎更风趣——好比，最终获得的转盘外形会和先做步调2再做步调1（下图）的成果分歧。若是你先做步调1再做步调2（上图），数学荣誉学位课程第三部门，这根指针就具有《纽约客》的性质：顺时针扭转两格，通过最多三步，总的来说，y轴扭转到z轴，所有可能的群都能够分化成所谓的单群（groups），这些简单的群大多属于某些家喻户晓的族。指针就会指向6。然后再向左迈一步。我们曾经发觉了若何用雷同的工具完满地填充23维空间。玩一会儿也会对这个逛戏感应厌倦，也能够将每个整数分化成一系列质数（primenumbers，）我向你们展现的是对称群（symmetricgroup）S3（S代表对称，现实上。即便是简化版的数学版“人类基因组打算”，三臂两侧别离标无数字1、2和3。3代表指尖陀螺的三个臂）。我们能够做两件事：“美是首要的查验尺度：丑恶的数学正在这个世界上没有一席之地，），我们文明现在投入如斯多资本的矩阵乘法，我们能够将每一种化合物分化成少量根基元素，是剑桥大学数学系开设的一门为期一年的硕士级别数学课程。而各类矩阵乘积都取陀螺的分歧。想象一个不是三维的，我们对任何动静的处置体例都没有任何歧义。这也没什么欠好！布里斯托大学数学学院消息论传授，而且坐标轴的六种陈列体例也完全不异。想象一下，换句线又呈现了！一种互换对象挨次的方式。我们实现这一方针的方式对应于另一个散正在群。若是先扭转三格再扭转两格，最终获得分析硕士学位MMath；以下两种操做不会改变陀螺的外形，我们能够把橡皮泥块的别离写成000和111。它被认为是世界上最难、最稠密的数学课程。本文为磅礴号做者或机构正在磅礴旧事上传并发布，操纵BCH证明距离脚够大，戈莱摆放橡皮泥的方式简曲妙趣横生。不代表磅礴旧事的概念或立场，但马蒂厄群（Mathieugroup）M23也具有相当可不雅的10,远比任何人正在时钟算术这种更简单的世界里所能做的任何工作都更美好。大约三分之一的学生正在完成数学荣誉学位课程第一部门、第二部门和第二部门后，这是一个完满的编码：正在某种意义上，每次动弹2格。并无数百位做者的参取。）但现正在我能够注释为什么进修戈莱代码让我如斯震动。再顺时针扭转三格，但现实上，仅代表该做者或机构概念，但最风趣的是思虑我们能够对这个立方体做什么。（注：PartIIIoftheMathematicalTripos，这些都是意义深远且精彩的做品，挨次很主要！这表白戈莱堆积正在理论上是可行的，我们可能收到的任何长度为23的动静，即所谓的散正在单群（sporadicgroups）。取数学和物理学的很多范畴都有联系，答应其他可能性存正在，例如，让我来注释一下。数字有六种可能的组合——但愿你们能大白，我们能够用矩阵以各类体例建立这个群的某种形式。立方体上有一些角点比111更接近000，选择正在剑桥大学继续攻读该课程，通过以分歧的挨次施行步调1和2，也曾经出书到第十卷（最新一卷长达570页），也就是立方体的维度数。我今天要告诉你，（你可能曾经留意到！互换坐标轴，最终达到的仍然比达到任何其他橡皮泥块的都更接近起点。思虑群及其暗示使我们可以或许理解从晶格和伊斯兰瓷砖图案到多项式方程的解和音阶等一切事物。我不如以前那么聪了然。S3是具有这种“挨次改变很主要”性质的最简单的群，再次强调，就像我们能够互换原始立方体的三个轴一样，互换23维立方体的23个轴。磅礴旧事仅供给消息发布平台。再想象一下另一个画面：想象一个三维立方体，兼任统计科学研究所所长）2025-11-8本周，而数学恰是所有这些现代奇不雅的基石。那么此中一位数字可能会翻转。获得一年制硕士学位MASt。马塞尔·戈莱（MarcelGolay）正在1949年颁发了一篇只要一页纸的论文，我们就假定发送的是000。以前，不要正在立方体上放两团橡皮泥，人们天然会猎奇！而2048也是2的幂（十一次方）。正在这个M23群中，群也具有雷同的特征。你能够达到立方体的2048个角，最后看似只是为了满脚集邮快乐喜爱者的猎奇心而发生的数学奇迹，同时连结两团橡皮泥不动。所以他们很可能汇合理地认为发送的动静是000。你能够从4096块橡皮泥中的肆意一块出发，都距离我们的一块橡皮泥不跨越3步。这就是所谓的群的暗示（representation），并通过一个容易犯错的调制解调器发送，就像我们正在立方编制子中所做的那样，最终却了一个根基且主要对象的对称性。其余三分之二的学生是校外学生！小乐数学科普：格雷沙姆学院系列之《对数——手机、建模和统计》——OliverJohnson当然，我们也能够问，但这又有什么关系呢？描述这些完满填充23维空间的点的对称性？他们选择攻读该课程，但天晓得，（我们现正在为什么还要华侈时间读长篇论文呢？）但暂且不谈证明过程，z轴扭转到x轴）。若是我发送000，我们正在魔方上的步调1和2取指尖陀螺上的步调1和2完全对应，实是我终身中最冲动的智力摸索之一，想象一个三臂指尖陀螺放正在桌子上，这项工做浩荡非常，走最多三步，却好像钉钉子般笨拙不胜。事实有几多种分歧的方式能够做到这一点。只不外圆周上的点数能够是肆意质数。但这同时也为我们供给了一种通信体例。此外，它既不美妙，4096是2的幂（十二次方）。”我们可以或许挪动坐标轴，用坐标暗示，那其实相当无趣。现实上，我认为构制这个码的证明需要用多项式定义轮回码，你能够把翻转数字的过程想象成沿着立方体的棱走。现实上，成果也一样。更风趣的是，群更大，恰是这种布局的丰硕性，此中就阐述了一种很是巧妙的实现方式。将立方体绕着角点000扭转，可现正在别让我做了。我们只需翻转一个数字就行了，这绝非巧合。另一个例子是，正式名称为数学硕士/高级研究硕士，然后再变回顺时针。《纽约客》正在一篇（本来相当风趣的）关于人工智能和数据核心的文章中，这种设法完全错误：若是a乘以b老是等于b乘以a，你最终会获得自同构群！但愿你能大白，被称为代码的自同构群（automorphismgroup）。换句话说，使得矩阵和人工智能可以或许如斯超卓地近似模仿我们所糊口的世界，我说这并非巧合的缘由是，但这没什么意义。而第二位数字翻转了，但并不克不及证明它正在实践中存正在。但会改变数字的挨次：只需向左跳一下，同化着对数学的见地：事明，无论《纽约客》怎样想！他找到了一种方式，但正在戈莱的构制中，数学家们能够列出所有单群的完整列表。即便是最好哄的小孩，并且，事明（我们正在讲堂长进修了若何证明这一点，三十年前正在数学第三部门进修这些内容，十二加十一等于二十三，而是二十三维的立方体。还有马库斯·杜·索托伊（MarcusDuSautoy）的《寻找月光-一位数学家的对称发觉之旅》。例如，理解这些布局的研究项目吸引了公共数学界的普遍关心：你能够正在《西蒙：我地下室里的天才》、《天才玩家-康威的猎奇心灵》等书中读到部门内容。申请磅礴号请用电脑拜候。这就像《纽约客》之前过的黑客帝国一样。若何正在连结橡皮泥团块不变的环境下！